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# If A is square matrix such that $A^2=A,$show that $(I+A)^3=7A+I.$

LHS:-

$(I+A)^3$

$\Rightarrow (I+A)^2.(I+A)$

$\Rightarrow (I^2+A^2+2IA).(I+A)$

$(I^2+A+2IA).(I+A)$ [By replacing $A^2$ by A]

$(I+A+2A).(I+A)$

$(I+3A).(I+A)$

$I^2+3AI+AI+3A^2$ [Relace $A^2$=A]

$I^2+4AI+3A.$

$\Rightarrow I+4A+3A$

$\Rightarrow I+7A\Rightarrow RHS.$