Given: $|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=1\:\:and\:\:\overrightarrow a+2\overrightarrow b\:is\:\perp\:5\overrightarrow a-4\overrightarrow b$
$\Rightarrow\:(\overrightarrow a+2\overrightarrow b).(5\overrightarrow a-4\overrightarrow b)=0$
$\Rightarrow\:5|\overrightarrow a|^2+6(\overrightarrow a.\overrightarrow b)-8|\overrightarrow b|^2=0$
$\Rightarrow\:2cos\theta-1=0$ (where $\theta$ isthe angle between $\overrightarrow a\:\:and\:\:\overrightarrow b$.)
$cos\theta=\large\frac{1}{2}$$\:\:or\:\:\theta=\large\frac{\pi}{3}$