Given
$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\0 & 2 & -3\\3 & -2 & 4\end{bmatrix}$
In order to use column elementary transformation we write A=AI.
$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\0 & 2 & -3\\3 & -2 & 4\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
Step 1: Apply $C_2\rightarrow 2C_2+C_3$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -3\\3 & 0 & 4\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Step 2: Apply $C_3\rightarrow 3C_2+C_3$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 4\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 6\\0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
Step 3: Apply $C_3\rightarrow C_3-C_1$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 2 & 6\\0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
Step 4: Apply $C_3\rightarrow C_1-C_3$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 2\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & -6\\0 & 1 & -4\end{bmatrix}$
Step 5: Apply $C_3\rightarrow \frac{1}{2}C_3$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 2 & -3\\0 & 1 & -2\end{bmatrix}$
Step 6: Apply $C_1\rightarrow C_1-3C_3$
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\9 & 2 & -3\\6 & 1 & -2\end{bmatrix}$
Step 7: $A^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\9 & 2 & -3\\6 & 1 & -2\end{bmatrix}$